Oddur Arnþór Jónsson stundaði nám við Söngskólann í Reykjavík hjá Ólöfu Kolbrúnu Harðardóttur og Alexander Ashworth og lauk burtfararprófi með ágætiseinkunn. Hann stundaði framhaldsnám í óperudeild og ljóða- og óratóríudeild Universität Mozarteum í Salzburg, Austurríki. Hann lauk meistaragráðu vorið 2014 og hlaut Lilli Lehmannviðurkenninguna fyrir framúrskarandi meistarapróf í óperusöng. Kennarar hans við skólann voru Andreas Macco, Martha Sharp, Eike Gramss, Gernot Sahler, Breda Zakotnik og Julia Pujol.
Síðastliðið haust söng hann í fyrsta sinn við Íslensku óperuna, hlutverk Rodrigo í Don Carlo, og var útnefndur Bjartasta vonin á Íslensku tónlistarverðlaununum í vor. Oddur hefur sungið Greifann í Brúðkaupi Fígarós, Guglielmo í Così fan tutte, Belcore í Ástardrykknum, Orest í Iphigenie auf Tauris eftir C. W. Gluck, Kaiser í Kaiser von Atlantis eftir V. Ullmann, Ned Keene í Peter Grimes og Herald í The Burning Fiery Furnace eftir B. Britten.
Sem einsöngvari söng Oddur Das Lied von der Erde eftir G. Mahler í Garnier-óperunni í París í ballettuppsetningu John Neumeier. Hann hefur sungið Jesús og bassaaríur í Jóhannesarpassíunni, bassahlutverkin í H-moll messunni, Jólaóratóríunni og fjölda kantata eftir J. S. Bach, Lieder eines fahrenden Gesellen eftir G. Mahler, Schwanengesang eftir F. Schubert og Liederkreis op. 39 eftir R. Schumann.
Oddur hefur hlotið fjölda viðurkenninga í alþjóðlegum keppnum. Hann sigraði Brahmskeppnina í Pörtschach í Austurríki; varð þriðji í Schubert-keppninni í Dortmund og þriðji í Musica Sacra-keppninni í Róm. Hann fékk Schubert-verðlaunin og verðlaun fyrir besta ljóða- og óratóríuflytjandann í Francesc Viñas-keppninni í Barcelona. Hann söng í úrslitum Belvedere-keppninnar og í alþjóðlegu Mozart-keppninni