Hörður Áskelsson hefur verið organisti og kantor Hallgrímskirkju frá því hann lauk framhaldsnámi í Düsseldorf í Þýskalandi árið 1982. Hann hefur gegnt lykilhlutverki í uppbyggingu listalífs kirkjunnar og stóð meðal annars að stofnun Listvinafélags Hallgrímskirkju, Kirkjulistahátíðar og Alþjóðlegs orgelsumars.
Árið 1982 stofnaði hann Mótettukór Hallgrímskirkju og kammerkórinn Schola cantorum árið 1996. Með kórunum hefur hann flutt margar helstu perlur kórbókmenntanna bæði með og án undirleiks. Söng kóranna má heyra á mörgum hljómdiskum. Hörður hefur stjórnað frumflutningi margra verka fyrir kór og hljómsveit sem íslensk tónskáld hafa skrifað fyrir hann og kórana hans, Páskaóratóríu eftir Þorkel Sigurbjörnsson, Jólaóratóríu eftir John Speight, Hallgrímspassíu og Jólaóratóríu eftir Sigurð Sævarsson, Passíu eftir Hafliða Hallgrímsson, óratóríuna Cecilíu eftir Áskel Másson og Thor Vilhjálmsson og Fléttu eftir Hauk Tómasson.
Hörður hefur stýrt fyrsta flutningi á Íslandi af nokkrum stórum óratóríum frá barokktímanum, má þar nefna Sál, Jósúa, Ísrael í Egyptalandi og Solomon eftir Händel, Requiem eftir Campra og Pál postula eftir Mendelssohn. Hörður hefur æft báða kóra sína fyrir flutning fjölmargra verka með Sinfóníuhljómsveit Íslands bæði í Háskólabíói og Hörpu. Þungamiðja í þeirri vinnu hefur verið flutningur og upptökur á nær öllum verkum Jóns Leifs fyrir kór og hljómsveit, sem gefin hafa verið út á mörgum hljómdiskum hjá útgáfufyrirtækinu BIS í Svíþjóð. Á meðal helstu verka þeirrar útgáfu eru Edda I, Edda II (kemur út 2019), Ísland cantata, Baldur og Hafís.
Sem organisti hefur Hörður átt farsælan feril, haldið orgeltónleika víðsvegar, frumflutt tónverk margra íslenkra tónskálda og leikið inn á hljómdiska, bæði sem einleikari og meðleikari.
Hörður hefur kennt orgelleik og kórstjórn við Tónskóla þjóðkirkjunnar og á árunum 1985–1995 var hann lektor í litúrgískum söngfræðum við guðfræðideild Háskóla Íslands. Hörður gegndi embætti Söngmálastjóra þjóðkirkjunnar árin 2005–2011.
Hann hefur hlotið fjölmargar viðurkenningar fyrir framlag sitt til tónlistarlífs á Íslandi, þ.á m. Íslensku tónlistarverðlaunin árið 2001, Riddarakross hinnar íslensku fálkaorðu árið 2004 og Íslensku bjartsýnisverðlaunin árið 2006. Þá var hann útnefndur borgarlistamaður Reykjavíkur 2002.